1) 2sin (x) — 3 cosx=24 sin (x/2) cos (x/2) — 3 (cos^2 (x/2) — sin^2 (x/2)=2 (cos^2 (x/2)+sin^2 (x/2) откуда 5 sin^2 (x/2) — 4 sin (x/2) cos (x/2) — cos^2 (x/2)=0 делим на cos^2 (x/2), тога получим 5 tg^2 (x/2) — 4 tg (x/2) — 1=0 tg (x/2)=t , 5t^2 — 4 t — 1=0 получаем корни t1=1 бе 2=-0,2t1=1 => tg (x/2)=1 => x/2=Pi/4+Pi*n, => x1=Pi/2+2*Pi*nt2=-0,2 => tg (x/2)=-0,2 => x/2=- arctg (0,2)+Pi*n => x2=-2 arctg (0,2)+2*Pi*n4) sqrt (cos5x+cos7x)=sqrt (cos6x) sqrt (2cos6xcosx)=sqrt (cos6x) |2 cos6xcosx |=|cos6x|cos^2 (6x)*(4*cos^2 (x) — 1)=0 откуда 1) 6x=Pi/2+Pi*n => x1=Pi / 12+Pi*n/6 (этот корень подходит при проверке!) 2) 4cos^2 (x) — 1=0 cosx=0,5 и cosx=- 0,5 cosx=0,5 => x2=+(-) Pi /3+2*Pi*n (подходит!) cosx=-0,5 => x3=+(-) 2*Pi/3+2*Pi*n (этот корень не подходит приподстановке в начальное уравнение, он не является корнем нашего уравнения.) Ответ: x1=x1=Pi / 12+Pi*n/6 ,x2=+(-) Pi /3+2*Pi*n3) sin2x+sin4x+sin 6x=1/2ctgxsin2x+sin6x=2sin4xcos2x , тогда имеем 2 sin4xcos2x+sin4x=0,5*tgx (заменяю 1/ctgx=tgx) 2 sin4x (2cos2x+1)=tgx (0,5 перенес в левую часть, поэтому появился множитель 2) 4sin2xcos2x (2 (cos^2 (x) — sin^2 (x)+1)=tgx 8sinx cosx (4cos^2 () x — 1)=tgx (в левой части я сделал преобразования 2 (cos^2 (x) — sin^2 (x)+1=3cos^2 (x) -sin^2 (x)=4cos^2 (x) — 1) tgx=sinx/cosx , поэтому можем перенести в левую часть cosx 8sinx cos^2 (x) (4cos^2 (x) — 1)=sinxsinx (8 cos^2 (x) (4cos^2 (x) — 1) — 1)=0 (имеем два уравнения) 1) sinx=0 => x1=Pi*n2) 8 cos^2 (x) (4cos^2 (x) — 1) — 1)=0 32 cos^4 (x) — 8cos^2 (x) — 1=0cos^2 (x)=t ,32 t^2 — 8t — 1=0 корни t1=(1+sqrt (3) /8 , t2=(1 — sqrt (3) /8 (t2 <0 , поэтому он нам не подходит, т. К cos^2 (x)=t и cos^2 (x) >0!) t1=(1+sqrt (3) /8cos^2 (x)=(1+sqrt (3) /8cosx=+(-) sqrt (1+sqrt (3) /8) x2=+(-) arccos (sqrt (1+sqrt (3) /8)+Pi*nx3=+(-) (Pi — arccos (sqrt (1+sqrt (3) /8)+Pi*n (т.к. arccos sqrt (- (1+sqrt (3) /8)=Pi — arccos sqrt (1+sqrt (3) /8) Ответ: x1=Pi*n x2=+(-) arccos (sqrt (1+sqrt (3) /8)+Pi*nx3=+(-) (Pi — arccos (sqrt (1+sqrt (3) /8)+Pi*n
